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exercice loi binomiale calculatrice

On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli: On appelle succés \(S\) " le tireur atteint la cible" avec la probabilité \(p=0,7\). \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} Introduction. \], \[P( X = 2)\approx 0.441 \text{ à } 10^{-3} \text{ près. \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} Exercices supplémentaires : Loi binomiale Partie A : Loi binomiale Exercice 1 Dans une région pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1. \newcommand{\crofer}{]\!]} C'est dans l'esprit de celui-ci que cette page a été rédigée. \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} Un exemple sur la loi binomiale Imaginons qu'on veut obtenir le "1" d'un dé cubique non truqué. 2) On effectue 9 forages. \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mtc}{\mathbb{C}} a. \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} La première commande permet de stocker toute la loi de probabilité dans la liste L2.. La seconde commande permet d'obtenir la probabilité \(\mathbb P(X=2)\). Même question lorsque le tireur a une chance sur trois de toucher la cible. 1) Justifier que la réalisation d’un forage peut être assimilée à une épreuve de Bernoulli. Un tireur vise une cible avec une chance sur deux de la toucher. On considère un lancer de 2 dés , deux issues sont possibles: On répète \(20\)  fois, de façon indépendante, l’expérience « un joueur effectue un lancer de 2 dés » qui comporte 2 issues : Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire \(X\) prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres \(20\)  et \(\dfrac{5}{12}\) notée \(\mathscr{B}(20;\dfrac{5}{12})\) . Enoncé A chaque tir la probabilité pour qu'un tireur touche la cible est 0,7. On répète \(n\)  fois, de façon indépendante, l’expérience « le tireur vise la cible » qui comporte 2 issues : Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire \(X\) prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres \(n\)  et \(\dfrac{1}{2}\) notée \(\mathscr{B}(n;\dfrac{1}{2})\) . \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} A chaque tir la probabilité pour qu’un tireur touche la cible est 0,7. \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} Au bout de 20 lancers quelle est la probabilité d’avoir obtenu 10 fois un total supérieur ou égal à 8 ? \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} La loi de probabilité se trouve alors disponible dans le menu \(\fbox{STAT}~ ~1 : Edit...\). (G. Frugier - Les probabilités sans les boules) Une chenille processionnaire descend le long d’un grillage. On retrouve la Liste 1 remplie avec les valeurs de 0 à 5. }\], \[P( X = 10)\approx 0.133 \text{ à } 10^{-3} \text{ près. b) Même question lorsque le tireur a une chance sur trois de toucher la cible. On répète \(10\)  fois, de façon indépendante, l’expérience « on tire au hasard une pièce dans la production » qui comporte 2 issues : Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire \(X\) prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres \(10\)  et \(0,05\) notée \(\mathscr{B}(10;0,05)\) . \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} Aujourd’hui, la loi binomiale est au programme du secondaire. Exercice. \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} stream \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} On répète \(n\)  fois, de façon indépendante, l’expérience « le joueur lance un dé bien équilibré » qui comporte 2 issues : Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire \(X\) prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres \(n\)  et \(\dfrac{1}{6}\) notée \(\mathscr{B}(n;\dfrac{1}{6})\) . Accueil. x�]ݒ%7����(X�f�r�T�,\��D�k�ib/.�Ƴ��{wۻ�\����>|))?�~T���`��ёR��W*%]����4��v���)����il��LUc��|�����u��gO��{*k����U���˗v2�`1`���LS�=��ޖ�>nʏooMi�ۗ��ܔ�_���:\������yp]]_ \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} Publié dans Exercices en TS. La seconde commande permet d'obtenir la probabilité \(\mathbb P(X=2)\). D'après ce tableau , l'événement \(S\geq8\) est réalisé (5+4+3+2+1 ) soit 15 fois. Comme \(\dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)} \approx 4,32\) il faut donc dans ces conditions que le tireur vise la cible 5 fois pour qu'il atteigne au moins une fois avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 . \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} Ensuite on calcule la loi de probabilité de la loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,7 au moyen de la fonction binompdf se trouvant dans \(\fbox{2nd}~\fbox{DISTR}~ ~0 :binompdf(\).. La fonction s'utilise avec la syntaxe ci-contre. \DeclareMathOperator{\diam}{diam} On met \(\fbox{List 2}\) en surbrillance puis \(\fbox{F5}~ DIST~ ~ \fbox{F5} ~ BINM~ ~ \fbox{F1}~Bpd\). Pour tout entier \(k\) où \(0\leq k\leq n\), on a \[P(X=k)=\binom{n}{k}\times \left(\dfrac{1}{6}\right)^k\times\left( \dfrac{5}{6}\right)^{n-k}\], Déjà en utilisant l'événement contraire, on a \(P(X\geq 1)=1-P(X=0) =1-\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\), \[\begin{array}{lll} P(X\geq 1) \geq 0,95&\iff 1-\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \geq 0,95& \\ &\iff -\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \geq -0,05&\\ &\iff \left(\dfrac{1}{6}\right)^n \leq 0,05&\\ & \iff \ln\left(\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\right)\leq \ln (0,05)& \text{ en appliquant la fonction } \ln \\ && \text{ qui est strictement croissante sur } ]0;+\infty[.\\ & \iff n\times \ln \left(\dfrac{1}{6}\right)\leq \ln (0,05)& \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{1}{6}\right)} & \text{ car ayant } 0 < \dfrac{1}{6} < 1 \text{ on déduit} \\ & & \ln \left(\dfrac{1}{6}\right)< \ln (1) \text { soit } \ln \left(\dfrac{1}{6}\right) < 0 \end{array}\]. \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} : Le paramétrage suivant de la fenêtre Bpd permet de calculer \(\mathbb P(X=2)\) pour X suivant la loi Binomiale de paramètres \(n=5\) et \(p=0,7\). Lien entre Loi Binomiale et Coefficients Binomiaux. \(\fbox{2nd}~ \fbox{LIST} ~ \fbox {OPS}~ ~ 5 :seq\), \(\fbox{2nd}~\fbox{DISTR}~ ~0 :binompdf(\), Utilisation de la fonction TABLE des fonctions, \(\fbox{OPTN}~ \fbox{F1}~LIST ~ \fbox {F5}~Seq\), \(\fbox{F5}~ DIST~ ~ \fbox{F5} ~ BINM~ ~ \fbox{F1}~Bpd\), Lien entre Loi Binomiale et Coefficients Binomiaux, Représentation graphique de la loi binomiale. Donc \(P(S\geq8)=\dfrac{Card(S\geq8)}{(Card(\Omega)}= \dfrac{15}{36}=\dfrac{3\times 5}{3\times 12}=\dfrac{5}{12}\). }\], Probabilités : loi binomiale des exercices avec corrigé. \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} Tout d'abord, on crée dans la liste L1 les valeurs de k possibles au moyen de la fonction SEQ se trouvant dans \(\fbox{2nd}~ \fbox{LIST} ~ \fbox {OPS}~ ~ 5 :seq\). La fonction s'utilise avec la syntaxe ci-contre. Fiches de synthèse. Exercices : Loi Binomiale ou non Exercice 1. \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} Pour tout entier \(k\) où \(0\leq k\leq 10\), on a \[P(X=k)=\binom{10}{k}\times \left(0,05\right)^k\times\left( 0,95\right)^{10-k}\], 2ND DISTR 0binomFdP( 10 , 0.05,2)EXE Avec une calculatrice de type TI \(binomFdP(10,0.05,2) \approx 0.075\), 2ND DISTR AbinomFRép( 10 , 0.05,2)EXE Avec une calculatrice de type TI \[binomFR\text{é}p(10,0.05,2) \approx 0.988\]. Pour tout entier \(k\) où \(0\leq k\leq 20\), on a \[P(X=k)=\binom{20}{k}\times \left(\dfrac{5}{12}\right)^k\times\left( \dfrac{7}{12}\right)^{20-k}\]. Bien évidemment, sa probabilité p est égale à $\frac{1}{6}.$ On fait par exemple 6 essais et on souhaite que l'on y arrive 2 fois. Il tire 3 fois de suite. a) Combien doit-il tirer de coups afin que la cible soit atteinte avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 ? Considèrons l'univers \(\Omega\) des couples \((a,b)\) où \(a \in[0;6]\) et \(b \in [0;6]\). R�'�w�������rS���� �8_�h��bc{ؤ>��a�u>Px ���[email protected]ﴭ�. La loi de probabilité de X est de tableau donnant  : en première liste, le nombre de succès possible, donc tous les entiers k allant de 0 à n. en deuxième liste, les probabilités d'obtenir exactement 0, 1, ..., \(n\) succès parmi les n épreuves. Cette fois-ci \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de succès suit la loi binômiale de paramètre \(n\) et \(p=\dfrac{1}{3}\).\(X\) prend les valeurs entières \(k\) où \(0\leq k\leq n\) et \(P(X=k)=\binom{n}{k}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^k\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-k}\). \newcommand{\dis}{\displaystyle} Utilisation de la calculatrice. La variable aléatoire \(X\) est définie par le nombre de coups dans la cible. %PDF-1.3 Afficher avec la calculatrice la loi de probabilité de X. On répète trois fois de suite cette expérience de façon indépendante et donc. Comme \(\dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{2}{3}\right)}\approx 7,39\) il faut donc dans ces conditions que le tireur vise la cible 8 fois pour qu'il atteigne au moins une fois avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 . Cette méthode, applicable uniquement sur TI, est décrite dans le document papier du paragraphe suivant. ��@�]�`�:k��o�WxKIK)��'*r���jy�;��S�cS��K7UmoVh;���탬p�"R�D~������Жe+�M�v϶���~�e:V��T��pKXS�p Déterminons la loi de probabilité de \(S\): la variable aléatoire égale à la somme des deux numéros. \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de coups dans la cible est égale au nombre de succès , d'après le cours , \(X\) suit la loi binômiale de paramètre 3 et 0,7. 2ND DISTR 0binomFdP( 20 , 5/12,10)EXE Avec une calculatrice de type TI \(binomFdP(20,5/12,10) \approx 0.133\), \[ \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres \(n=5\) et \(p=0,7\). \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} Publié par Luc GIRAUD. 4 0 obj \DeclareMathOperator{\comat}{comat} Déjà en utilisant l'événement contraire, on a \(P(X\geq 1)=1-P(X=0) =1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\), \[\begin{array}{lll} P(X\geq 1) \geq 0,95&\iff 1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\geq 0,95&\\ &\iff -\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\geq -0,05& \\ & \iff \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\leq 0,05&\\ &\iff \ln (\left(\dfrac{2}{3}\right)^n)\leq \ln (0,05)& \text{ en appliquant la fonction } \ln \\ && \text{ qui est strictement croissante sur} ]0;+\infty[.\\ & \iff n\times\ln \left(\dfrac{2}{3}\right)\leq \ln (0,05)& \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{2}{3}\right)}& \text{ car ayant } 0<\dfrac{1}{3}<1 \text { on déduit} \ln \left(\dfrac{2}{3}\right)<\ln (1) \\ && \text{ soit } \ln \left(\dfrac{2}{3}\right)<0\\ \end{array}\]. Ensuite on calcule la loi de probabilité de la loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,7 en allant dans le \(\fbox{MENU}~ STAT 2\). On commence par afficher le tableau de valeurs exprimant P(X=k) pour k entier, 0≤k≤5. \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} Exercice sur la loi normale avec calculatrices TI . Avec Texas Instruments : La première commande permet de stocker toute la loi de probabilité dans la liste L2. \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} La cible soit atteinte signifie ici , avec nos notations \(X\geq 1\), On cherche ici \(n\) tel que \(P(X\geq 1) \geq 0,95\), Déjà en utilisant l'événement contraire, on a \(P(X\geq 1)=1-P(X=0) =1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\), \[\begin{array}{lll} P(X\geq 1) \geq 0,95&\iff 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq 0,95& \\ &\iff -\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq -0,05&\\ &\iff \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leq 0,05&\\ & \iff \ln\left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\leq \ln (0,05)& \text{ en appliquant la fonction } \ln \\ && \text{ qui est strictement croissante sur } ]0;+\infty[.\\ & \iff n\times \ln \left(\dfrac{1}{2}\right)\leq \ln (0,05)& \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)} & \text{ car ayant } 0 < \dfrac{1}{2} < 1 \text{ on déduit} \\ & & \ln \left(\dfrac{1}{2}\right)< \ln (1) \text { soit } \ln \left(\dfrac{1}{2}\right) < 0 \end{array}\]. \DeclareMathOperator{\sh}{sh} }\], \[P( X \leq 2)\approx 0.988 \text{ à } 10^{-3} \text{ près. \DeclareMathOperator{\vect}{vect} �w����h��o�����o#ۙ���x�ڧd��08H��<8c���]_v�Pg�=�t��ue�ӳ�/?Pb�P���7�#zqr�a��B�p���� �Ӌ��J�����`SOU=4��p?r$h�ӿ.i�a��GU���5i���(�p�Rh����Mq�>p_�S�=�up-]y�e����ۮ�`������^�1��02�5U?�K4A������n��D��z�����_~�?ڛ"/�mm��k#yʼm�d�ض��U[wU=_U�=p�7�5���ik�j���� \newcommand{\croouv}{[\! \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} Tout d'abord on crée dans la liste L1 les valeurs de k possibles au moyen de la fonction SEQ se trouvant dans \(\fbox{OPTN}~ \fbox{F1}~LIST ~ \fbox {F5}~Seq\). Probabilités : loi binomiale des exercices avec corrigé ... Exercice 1 . Combien doit-il tirer de coups afin que la cible soit atteinte avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 ? On remplit ensuite les paramètres comme indiqué ci-contre. ��C5Z ��HyC �8US?u��s pE �SS�n�~z^�ׅ͋���^��?�۠��_�Sh��S���Y�O��~���m!�aZb�8���S�³�@��q?���gp��E� �F覯���݊c6�g��J(�J��:����O��UB�e�56��p���π�8�'��[��X��_70?B�� ��W��%H�2�;�o?��a�iQ��m��6Q~�tZH���T������׋���` �� ��v?��@D!�ͳz�R,�DC�ؕ �"�pv��/n�s�'�&�F��y���+V����ׯ�y�b�skf��4.g8H��lnz���Iȅ�l!+�����(�vUm�Ί����� Quand vous aurez assimilé les bases, vous pourrez consulter la page sur la loi binomiale avec Excel.. Présentation \DeclareMathOperator{\card}{card} A l'aide d'une calculatrice on obtient la loi de probabilité de \(X\): 2ND DISTR 0binomFdP( 3 , 0.7,2)EXE Avec une calculatrice de type TI \(binomFdP(3,0.7,2) \approx 0.441\), Remarque: Sur TI 89 on peut créer un fonction ou un programme sur la calculatrice, si on veut afficher directement la loi de probabilité de \(X\), \(F\) la fonction de répartition de \(X\) est définie par \(F(x)=P(X\leq x)\).

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